PA-04 SESIÓN 07 Secuencia de Aprendizaje

Técnicas de Conteo

Las técnicas de conteo son una herramienta fundamental en el campo de la probabilidad y la estadística. Estas técnicas nos permiten determinar el número total de resultados posibles al realizar combinaciones dentro de un conjunto o conjuntos de objetos. Algunas de las técnicas más importantes incluyen los principios multiplicativo y aditivo, las permutaciones y las combinaciones.

El principio multiplicativo nos dice que si una actividad consta de varios pasos, el número total de formas en que se puede realizar la actividad es el producto del número de formas en que se puede realizar cada paso.

Ejemplo. Queremos elegir un atuendo que consta de una camisa, un pantalón y unos zapatos, y tenemos 3 camisas, 2 pantalones y 4 pares de zapatos para elegir, entonces el número total de atuendos posibles es 3 x 2 x 4 = 24.

El principio aditivo nos dice que si tenemos varias opciones para realizar una actividad, el número total de formas en que se puede realizar la actividad es la suma del número de formas en que se puede realizar cada opción.

Ejemplo. Se debe elegir un postre, tenemos la opción de optar entre pastel o helado, y hay 3 tipos de pastel y 4 tipos de helado para elegir, entonces el número total de opciones de postre es 3 + 4 = 7.

Las permutaciones nos permiten contar el número total de formas posibles en que se puede ordenar un conjunto de objetos.

Ejemplo. Si queremos ordenar, de formas diferentes, todas las letras del conjunto A, B y C; entonces las permutaciones serían 6 (ABC, ACB, BAC, BCA, CAB y CBA), es decir hay \(3!\) permutaciones, done \(3!=3 × 2 × 1=6\).

Las combinaciones nos permiten contar el número total de formas en que se puede elegir un subconjunto de objetos a partir de un conjunto y se representan con la expresión \({}_{n}C_{k}=\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), donde \(n!\) representa el factorial de \(n\), es decir, el producto de todos los números naturales desde \(1\) hasta \(n\).

Ejemplo1. Queremos elegir un conjunto de 2 letras a partir del conjunto {A, B, C}, entonces hay 3 combinaciones posibles: AB, AC y BC. Aplicando la formula:

\({}_{3}C_{2}=\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3\times2!}{2!\times1} = \frac{3}{1} = 3\)

Ejemplo 2. ¿De cuántas formas diferentes se puede elegir, de un conjunto de 5 personas, un comité de 3 miembros? Solución: es posible encontrar las combinaciones asignando un número distinto a cada persona y luego generar todos los subconjuntos de 3, los cuales serían {1, 2, 3} {1, 2, 4} {1, 2, 5} {1, 3, 4} {1, 3, 5} {1, 4, 5} {2, 3, 4} {2, 3, 5} {2, 4, 5} {3, 4, 5}. En total habrían 10 forma diferentes de elegir al comité. Comprobando con la fórmula:

\({}_{5}C_{3}=\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5\times4\times3!}{3!\times2\times1} = \frac{5\times4}{2\times1} = 10\)

Por lo tanto, hay \(10\) subconjuntos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} combinados de 3 en 3.