PA-04 SESIÓN 08 Secuencia de Aprendizaje

Combinaciones y Probabilidad

Se ha visto que las combinaciones son una técnica de conteo que nos permite calcular el número de formas diferentes en las que se pueden seleccionar objetos sin importar el orden. Esta técnica es muy útil cuando queremos calcular la probabilidad de eventos que involucran la selección de elementos de un conjunto. Su aplicación consiste en que, al conocer el número total de combinaciones posibles y el número de combinaciones favorables, podemos calcular la probabilidad del evento en cuestión.

Recordemos que la fórmula para calcular el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k, es:

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

Ejemplo. Calcular la probabilidad de obtener una tercia al tomar 5 cartas al azar de una baraja de 52 cartas.

Primero, debemos calcular el número total de combinaciones posibles al tomar 5 cartas de un conjunto de 52. Usando la fórmula anterior, tenemos:

$$\binom{52}{5} = \frac{52!}{5!(52-5)!} = \frac{52!}{5!47!} = \frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1} = 2,598,960$$

Por lo tanto, hay un total de 2,598,960 formas diferentes de tomar 5 cartas al azar de una baraja de 52 cartas.

Luego, debemos calcular el número de combinaciones favorables que representan una tercia. Para hacer esto, primero debemos elegir el valor de las tres cartas iguales. Hay 13 valores diferentes en una baraja (As, 2, 3, ..., Rey), por lo que hay 13 formas diferentes de elegir el valor de las tres cartas iguales. Luego, debemos elegir el palo de las tres cartas iguales. Hay\(\binom{4}{3} = 4\) formas diferentes de elegir los palos. Después, debemos elegir el valor de las dos cartas restantes. Hay 12 valores restantes (ya que uno fue elegido para las tres cartas iguales), por lo que hay 12 formas diferentes de elegir el valor de las dos cartas restantes. Finalmente, debemos elegir el palo de las dos cartas restantes. Hay \(\binom{4}{2} = 6\) formas diferentes de elegir los palos. Multiplicando todas estas opciones, tenemos:

$$13 \times \binom{4}{3} \times 12 \times \binom{4}{2} = 13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3,744$$

Por lo tanto, hay un total de 3,744 formas diferentes de obtener una tercia al tomar 5 cartas al azar de una baraja de 52 cartas.

Finalmente, podemos calcular la probabilidad del evento como el cociente entre el número de combinaciones favorables y el número total de combinaciones:

$$P(\text{tercia}) = \frac{\text{combinaciones favorables}}{\text{total de combinaciones}} = \frac{3,744}{2,598,960} \approx 0.00144$$

Entonces, la probabilidad de obtener una tercia al tomar 5 cartas al azar de una baraja de 52 cartas es aproximadamente del 0.144%.

Probabilidad (permutaciones sin repetición)

Las permutaciones sin repetición son una técnica de conteo que nos permite calcular el número de formas diferentes en las que se pueden organizar un conjunto de elementos distintos. Esta técnica es muy útil cuando queremos calcular la probabilidad de eventos que involucran la disposición de elementos en un orden específico. Al conocer el número total de permutaciones posibles y el número de permutaciones favorables, podemos calcular la probabilidad del evento en cuestión.

Para calcular el número de permutaciones sin repetición de n elementos distintos, podemos usar la fórmula: \(n!\)

Ejemplo. Calcular la probabilidad de que en una carrera con 3 corredores (A, B y C)  A llegue en primer lugar y B en segundo lugar.

Primero, debemos calcular el número total de permutaciones posibles al organizar a los 3 corredores en la línea de meta. Usando la fórmula anterior, tenemos: 

 \(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)

Por lo tanto, hay un total de 6 formas diferentes de organizar a los 3 corredores en la línea de meta.

Luego, se calcula el número de permutaciones favorables que representan a A en primer lugar y B en segundo lugar. Hay solo una forma (ABC), las otras no favorables son ACB, BAC, BCA, CAB, CBA. Así que, solo hay una forma de colocar al corredor A en primer lugar y después solo hay una forma de que B llegue en segundo lugar. Multiplicando todas estas opciones, tenemos: \(1 \times 1 = 1\)

Finalmente, podemos calcular la probabilidad del evento como el cociente entre el número de permutaciones favorables y el número total de permutaciones: 

 \(P(\text{A1 B2}) = \frac{\text{permutaciones favorables}}{\text{permutaciones totales}} = \frac{1}{6} \approx 0.1667\)

 
Por lo tanto, la probabilidad de que A llegue en primer lugar y B en segundo lugar es aproximadamente del 16.67%.

Probabilidad (permutaciones con repetición)

Las permutaciones con repetición son una técnica de conteo para calcular el número de formas diferentes en las que se pueden organizar un conjunto de elementos donde algunos elementos pueden ser iguales. Esta técnica es muy útil cuando queremos calcular la probabilidad de eventos que involucran la disposición de elementos en un orden específico donde algunos elementos pueden ser iguales. Al conocer el número total de permutaciones posibles y el número de permutaciones favorables, podemos calcular la probabilidad del evento en cuestión.

Para calcular el número de permutaciones con repetición donde hay n elementos totales y n₁ elementos del primer tipo, n₂ elementos del segundo tipo,..., n_k elementos del k-ésimo tipo (donde n₁+n₂+...+n_k=n), podemos usar la fórmula: 

 \(\frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}\)

Ejemplo. En una caja hay 3 bolas rojas y 2 bolas azules, ¿cuál es la probabilidad de extraerlas en el orden RRAAR?

Primero, se calcula el número total de permutaciones posibles al tomar 5 bolas de un conjunto de 5 (3 rojas y 2 azules). Usando la fórmula anterior, tenemos: 

 \(\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)

Por lo tanto, hay un total de 10 formas diferentes de sacar las 5 bolas al azar de la caja.

Luego, se calcula el número de permutaciones favorables que representan el orden RRAAR. Hay solo una forma de colocar las bolas en este orden específico. Por lo tanto, hay solo una permutación favorable.

Finalmente, se calcula la probabilidad del evento como el cociente entre el número de permutaciones favorables y el número total de permutaciones: 

\(P(\text{RRAAR}) = \frac{\text{permutaciones favorables}}{\text{permutaciones totales}} = \frac{1}{10} = 0.1\)

 
Por lo tanto, la probabilidad de sacar las bolas en el orden RRAAR al tomar 5 bolas al azar de una caja con 3 bolas rojas y 2 bolas azules es del 10%.