PA-14 SESIÓN 27 Secuencia de Aprendizaje

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1. La distribución continua de una variable aleatoria más importante en toda la estadística es la distribución normal o también llamada curva normal por las características de su grafica. Esta curva en forma de campana describe de forma muy aproximada muchos fenómenos que ocurren en la naturaleza, la industria y en la investigación.

   Una variable aleatoria continua x que tiene una distribución en forma de campana se le llama variable aleatoria normal. En su construcción se utilizan la media aritmética (μ) y la desviación estándar (σ).

   Observa la figura 14.1 donde se muestra la curva normal y las relaciones que se establecen entre la media aritmética (μ) y la desviación estándar (σ).

   
   
   
   

   Las propiedades de las áreas bajo la curva de una distribución normal de una variable aleatoria continua se utilizan para calcular probabilidades, para ello es importante tomar en cuenta:

   ·         La línea vertical que se ubica a la mitad de la curva normal representa el valor de la media, a la derecha se ubican los valores de x mayores a la media y a la izquierda los valores menores que la media ambos en términos de la desviación estándar.

   ·      El área total entre la línea horizontal (variable aleatoria continua x) y la curva es igual a 1 o 100 %.

   ·      El área entre -1σ a la izquierda y +1σ a la derecha de la media es igual a 0.64 o 64 % 

   ·      El área entre -2σ a la izquierda y +2σ a la derecha de la media es igual a 0.95 o 95 % 

   ·      El área entre -3σ a la izquierda y +3σ a la derecha de la media es igual a 0.997 o 99.7 % 

   Ejemplo. Observa la solución del siguiente ejemplo en el contexto de la diabetes.

   La diabetes es una enfermedad metabólica crónica caracterizada por niveles elevados de glucosa en sangre (o azúcar en sangre), que con el tiempo conduce a daños graves en el corazón, los vasos sanguíneos, los ojos, los riñones y los nervios.

   En la toma de 60 pruebas de glucosa en la sangre en adolescentes se obtuvieron los siguientes datos:

   103	111	97	90	85	86	91	100	114	106	105	115	98	92	87
   88	93	99	119	107	109	113	96	95	89	98	109	124	104	110
   106	106	126	112	84	81	115	116	108	111	112	109	118	118	80
   97	120	112	107	101	84	82	87	103	90	109	112	83	115	119

    

   a.        ¿Cuál es la probabilidad de que un adolescente que no fue parte de la muestra pero que pertenece a la población en estudio presente menos de 100 mg/dl de glucosa y por lo tanto no tenga diabetes?

   b.       ¿Cuál es la probabilidad de que un adolescente que no fue parte de la muestra pero que pertenece a la población en estudio presente entre 110 y 120 mg/dl de glucosa?

   Solución.

   Primero se calcula la media y la desviación estándar de los datos que en este caso son:

   μ=102.6 mg/ dl                  σ=12.1 mg/dl
   

   Se construye la curva normal para ubicar el área bajo la curva que ha de calcularse y que representaría la probabilidad buscada. Ubicamos el valor de la media en el centro de la curva, restamos 1, 2 y 3 desviaciones a la media para ubicar los valores a la izquierda, sumamos 1, 2, 3 desviaciones a la media y los ubicamos a la derecha. Luego ubicamos el valor de 100 mg/dl en el eje horizontal y a partir de este punto sombreamos toda el área de la parte izquierda como se muestra en la figura 14.2.
   
   
   
   Si el valor de x coincidiera con la μ±1,2 o 3 σ solo tendríamos que sumar los porcentajes que se muestran en cada región de la curva normal. Para ello es necesario calcular el valor de z y luego ubicar su valor correspondiente en área en una tabla de valores de áreas bajo la curva normal, como se muestra a continuación:
   
   z=(X-μ)/σ=(100-102.6)/12.1=-0.21
   
   Ubicamos el valor de -0.21 en la siguiente tabla. Primero se ubica el valor de -0.2 en la primera columna y posteriormente se busca la intersección con la columna de 0.01y que corresponde al valor de 0.4168 como se muestra a continuación.
   
   

   Tabla de áreas bajo la curva normal.

   
   
   
   El valor de 0.4168 es el área bajo la curva que representa la probabilidad de que un adolescente que pertenezca a la misma población presente en una prueba de glucosa menos de 100 mg/dl. 
2. Esta probabilidad puede escribirse como 0.4168 ó 41.68 %. Para responder el b) lo haremos con el auxilio de GeoGebra con el siguiente procedimiento. Abrimos una página, en Vista seleccionamos Hoja de cálculo, introducimos los datos. Seleccionamos todos los datos, desplegamos el icono en forma de grafico y seleccionamos análisis de una variable, click en analiza y aparecerá el histograma. En las herramientas de análisis de datos seleccionar mostrar estadísticas (  ) con lo cual se muestran todos los estadísticos del conjunto de datos, recuerda que necesitamos la media y la desviación estándar.
   
   
   
    Por último, seleccionamos la herramienta Cálculos de probabilidad y aparece una pantalla similar a la siguiente imagen.
   
   
   
   Escribimos en los espacios correspondientes la media (102.6) y desviación estándar (12.1) para que en el eje horizontal se distribuyan los valores de la variable X. Por último, escribimos el intervalo donde necesitamos el área que en este caso es (110, 120) y de forma automática nos proporciona el resultado de 0.1952.
   
   Considerando lo anterior, la probabilidad de que un adolescente que pertenezca a la población al hacerse la prueba de glucosa su resultado este entre 110 y 120 mg/dl es de 0.1952 que equivale al 19.52 %  de probabilidad. Como has observado calcular la probabilidad de una variable aleatoria continua que se distribuye normalmente se puede hacer calculando el valor de z y luego ubicar el área o probabilidad en la tabla respectiva o utilizar las herramientas de Geogebra. Si la situación, ejercicio o problema te proporciona la media y la desviación estándar accede con el siguiente código QR a un sitio donde solo hay que introducir los parámetros y el intervalo donde se requiera el área o probabilidad.